Kuinka ratkaista logaritmiset yhtälöt

Sisältö

• vaiheet
• Alustava: osaa muuttaa logaritmisen yhtälön yhtälöksi, jolla on voimat
• Menetelmä 1 Etsi x
• Menetelmä 2 Etsi x käyttämällä logaritmi-tuotesääntöä
• Menetelmä 3 Etsi x käyttämällä t logaritmin osamäärää

Logaritmiset yhtälöt eivät ole ensi silmäyksellä helpoimpia ratkaista matematiikassa, mutta ne voidaan muuttaa yhtälöiksi eksponenttien kanssa (eksponentiaalinen merkintä). Siten, jos onnistut tekemään tämän muunnoksen ja hallitset laskelman voimilla, sinun pitäisi ratkaista helposti tällaiset yhtälöt. HUOM: termiä "loki" käytetään ajoittain "logaritmin" sijasta, ne ovat vaihdettavissa.

vaiheet

Alustava: osaa muuttaa logaritmisen yhtälön yhtälöksi, jolla on voimat

1. 
   

   
   Aloitetaan logaritmin määritelmällä. Jos haluat laskea logaritmeja, tiedä, etteivät ne ole muuta kuin erityinen tapa ilmaista voimia. Aloitetaan yhdellä logaritmin klassisista ehdoista:
   • y = loki_b (X)
     • jos ja vain jos: b = x
   • b on logaritmin perusta. Kaksi ehtoa on täytettävä:
     • b> 0 (b on oltava ehdottomasti positiivinen)
     • b ei saa olla yhtä suuri kuin 1
   • Eksponentiaalisessa merkinnässä (toinen yhtälö yllä), siellä on voima ja x on ns. eksponentiaalinen lauseke, jonka arvon itse asiassa loki etsii.

2. 
   

   
   
   
   Tarkkaile yhtälöä tarkasti. Logaritmisen yhtälön edessä meidän on tunnistettava emäs (b), teho (y) ja eksponentiaalinen lauseke (x).
   • esimerkki : 5 = loki₄(1024)
     • b = 4
     • y = 5
     • x = 1024

3. 
   

   
   Sijoita eksponentiaalinen lauseke yhtälön toiselle puolelle. Sijoita esimerkiksi arvo x vasemmalla puolella merkkiä "=".
   • esimerkki : 1024 = ?

4. 
   

   
   Nosta pohja ilmoitettuun tehoon. Tietokannalle määritetty arvo (b) on kerrottava itsestään niin monta kertaa kuin virta osoittaa (siellä).
   • esimerkki : 4 x 4 x 4 x 4 x 4 =?
     • Lyhyesti sanottuna tämä antaa: 4

5. 
   

   
   
   
   Kirjoita vastauksesi. Voit nyt kirjoittaa logaritmin eksponentiaalisella merkinnällä. Varmista, että tasa-arvo on oikein, tekemällä laskelma uudelleen.
   • esimerkki : 4 = 1024

Menetelmä 1 Etsi x

1. 
   

   
   Eristä logaritmi. Tavoitteena on todellakin poistaa loki ensimmäisellä kerralla. Tätä varten me välitämme kaikki ei-logaritmiset jäsenet yhtälön toisella puolella. Älä unohda kääntää toimintakylttejä!
   • esimerkki : loki₃(x + 5) + 6 = 10
     • log₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
     • log₃(x + 5) = 4

2. 
   

   
   Kirjoita yhtälö eksponentiaalisessa muodossa. Jotta voidaan löytää "x", sinun on siirryttävä logaritmisesta merkinnästä eksponentiaaliseen merkintään, jälkimmäisen on helpompi ratkaista.
   • esimerkki : loki₃(x + 5) = 4
     • Alkaen teoreettisesta yhtälöstä y = loki_b (X)], käytä sitä esimerkissämme: y = 4; b = 3; x = x + 5
     • Kirjoita yhtälö: b = x
     • Saadaan täältä: 3 = x + 5

3. 
   

   
   löytää x. Olet nyt edessään ensimmäisen asteen yhtälön, joka on helppo ratkaista. Se voi olla toinen tai kolmas aste.
   • esimerkki : 3 = x + 5
     • (3) (3) (3) (3) = x + 5
     • 81 = x + 5
     • 81 - 5 = x + 5 - 5
     • 76 = x

4. 
   

   
   Kirjoita lopullinen vastauksesi. "X": lle löytämäsi arvo on vastaus logaritmiselle yhtälölle: loki₃(x + 5) = 4.
   • esimerkki : x = 76

Menetelmä 2 Etsi x käyttämällä logaritmi-tuotesääntöä

1. 
   

   
   Sinun on tiedettävä lokien tuotetta (kertolaskua) koskeva sääntö. Tukkien ensimmäisen ominaisuuden mukaan, joka koskee tukkien (saman tukijalan!) Tukia, tuotteen loki on yhtä suuri kuin tuotteen elementtien tukien summa. kuva:
   • log_b(m x n) = loki_b(m) + loki_b(N)
   • Kaksi ehtoa on täytettävä:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Eristä lokit yhtälön toisella puolella. Tavoitteena on todellakin ensin poistaa tukit. Tätä varten me välitämme kaikki ei-logaritmiset jäsenet yhtälön toisella puolella. Älä unohda kääntää toimintakylttejä!
   • esimerkki : loki₄(x + 6) = 2 - loki₄(X)
     • log₄(x + 6) + loki₄(x) = 2 - loki₄(x) + loki₄(X)
     • log₄(x + 6) + loki₄(x) = 2

3. 
   

   
   Käytä lokien tuotetta koskevaa sääntöä. Sovellemme sitä tässä vastakkaiseen suuntaan, nimittäin että tukkien summa on yhtä suuri kuin tuotteen loki. Mitä meille antaa:
   • esimerkki : loki₄(x + 6) + loki₄(x) = 2
     • log₄ = 2
     • log₄(x + 6x) = 2

4. 
   

   
   Kirjoita uusi yhtälö voimilla. Muista, että logaritminen yhtälö voidaan muuttaa yhtälöksi eksponenttien kanssa. Kuten aiemmin, siirrymme eksponentiaaliseen notaatioon ongelman ratkaisemiseksi.
   • esimerkki : loki₄(x + 6x) = 2
     • Sovelletaan sitä teoreettisesta yhtälöstä esimerkkiimme: y = 2; b = 4; x = x + 6x
     • Kirjoita yhtälö: b = x
     • 4 = x + 6x

5. 
   

   
   löytää x. Olet nyt edessään toisen asteen yhtälön, joka on helppo ratkaista.
   • esimerkki : 4 = x + 6x
     • (4) (4) = x + 6x
     • 16 = x + 6x
     • 16-16 = x + 6x-16
     • 0 = x + 6x - 16
     • 0 = (x - 2) (x + 8)
     • x = 2; x = -8

6. 
   

   
   Kirjoita vastauksesi. Usein meillä on kaksi vastausta (juuret). Se olisi tarkistettava lähtöyhtälössä, jos nämä kaksi arvoa ovat sopivia. Emme todellakaan voi laskea negatiivisen luvun lokia! Kirjoita ainoa kelvollinen vastaus.
   • esimerkki : x = 2
   • Emme koskaan muista sitä tarpeeksi: negatiivisen luvun lokia ei ole, joten voit täällä hylätä - 8 ratkaisuna. Jos ottaisimme vastaukseksi -8, perusyhtälössä meillä olisi: loki₄(-8 + 6) = 2 - loki₄(-8), eli loki₄(-2) = 2 - loki₄(-8). Ei voi laskea negatiivisen arvon lokia!

Menetelmä 3 Etsi x käyttämällä t logaritmin osamäärää

1. 
   

   
   Sinun on tiedettävä lokien jakamista koskeva sääntö. Lokien toisen ominaisuuden mukaan, joka koskee tukien jakoa (saman tukiaseman lähettäjä!), Osamittorin loki on yhtä suuri kuin osoittajan lokin ja nimittäjän lokin erotus. kuva:
   • log_b(m / n) = loki_b(m) - loki_b(N)
   • Kaksi ehtoa on täytettävä:
     • m> 0
     • n> 0

2. 
   

   
   Eristä lokit yhtälön toisella puolella. Tavoitteena on todellakin ensin poistaa tukit. Tätä varten me välitämme kaikki ei-logaritmiset jäsenet yhtälön toisella puolella. Älä unohda kääntää toimintakylttejä!
   • esimerkki : loki₃(x + 6) = 2 + loki₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - loki₃(x - 2) = 2 + loki₃(x - 2) - loki₃(x - 2)
     • log₃(x + 6) - loki₃(x - 2) = 2

3. 
   

   
   Käytä lokimäärän sääntöä. Sovellemme sitä tässä vastakkaiseen suuntaan, nimittäin että lokien välinen ero on yhtä suuri kuin osamäärän loki. Mitä meille antaa:
   • esimerkki : loki₃(x + 6) - loki₃(x - 2) = 2
     • log₃ = 2

4. 
   

   
   Kirjoita uusi yhtälö voimilla. Muista, että logaritminen yhtälö voidaan muuttaa yhtälöksi eksponenttien kanssa. Kuten aiemmin, siirrymme eksponentiaaliseen notaatioon ongelman ratkaisemiseksi.
   • esimerkki : loki₃ = 2
     • Sovelletaan sitä teoreettisesta yhtälöstä esimerkkiimme: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
     • Kirjoita yhtälö: b = x
     • 3 = (x + 6) / (x - 2)

5. 
   

   
   löytää x. Nyt kun ei ole enää lokit, vaan valtuudet, sinun pitäisi löytää helposti x.
   • esimerkki : 3 = (x + 6) / (x - 2)
     • (3) (3) = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 = (x + 6) / (x - 2)
     • 9 (x - 2) = (x - 2) & mdash; kerrotaan molemmat puolet (x - 2)
     • 9x - 18 = x + 6
     • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
     • 8x = 24
     • 8x / 8 = 24/8
     • x = 3

6. 
   

   
   Kirjoita lopullinen vastauksesi. Ota takaisin laskelmasi ja tarkista. Kun olet varma vastauksestasi, kirjoita se lopullisesti.
   • esimerkki : x = 3